Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg


Uni Heidelberg > IWR > ARITHGEO >  Home > Forschung
[english] | [deutsch]

Forschungsthemen

Galoisdarstellungen und Modulformen:
Eine moderne Art, algebraische Zahlentheorie zu betrachten, ist, die Gruppe G_Q aller Symmetrien von endlichen Erweiterungen der rationalen Zahlen Q, d.h. von Zahlkörpern, zu untersuchen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist über p-adische (oder komplexe) Galoisdarstellungen. Das sind Homomorphismen von G_Q nach GL_n(K) für (den komplexen oder) einen p-adischen Körper K. Wenn man all diese verstehen würde, könnte man viele Folgerungen in der Zahlentheorie damit herleiten. Der Grund dafür, dass dieser Ansatz vielversprechend ist, liegt darin, dass das Langlandsprogramm vorhersagt (vermuten läßt), dass viele interessante Galoisdarstellungen in der (arithmetischen) Geometrie gefunden werden können, z.B. durch die Untersuchung von Modulformen und elliptischen Kurven. Der offensichtlichste Erfolg dieser Methode war der Beweis von Fermats letztem Satz von Wiles und Taylor-Wiles aufbauend auf Arbeiten von vielen anderen.

Ein konkretes Beispiel eines Problems, welches von unserer Gruppe betrachtet wird, ist die Untersuchung lokaler universeller Deformationsringe (A.-K. Juschka, teilweise gemeinsam mit G. Böckle). Dies ist fundamental für das Verständnis von Galoisdarstellungen lokaler Körper, d.h. den lokalen Bestandteilen von Zahlkörpern. Wir würden gerne spezielle ringtheoretische Eigenschaften herleiten, was wiederum direkte Konsequenzen für die Darstellungen hätte. Der Schwerpunkt liegt auf theoretischen Ergebnissen. Aber für kleine Charakteristik des Restklassenkörpers sind computergestützte Methoden der kommutativen Algebra notwendig, wie die Faktorisierung in multivariaten Potenzreihenringen.

Ein Projekt, das Modulformen auf die Untersuchung von quadratischen Gittern anwendet, wird von Dr. J.M. Cervino verfolgt. Das Hauptziel seiner Forschung ist, Invarianten zu finden, die es einem erlauben, nicht-isomorphe ganze Gitter, die eine quadratische Form tragen, zu unterscheiden. Zu solchen Formen kann man Thetareihen zuordnen, welche spezielle klassische oder Siegelsche Modulformen sind. Diese Herangehensweise hat eine lange Tradition. Gemeinsam mit G. Hein aus Essen hat J.M. Cervino eine systematische Methode entwickelt, eine neue unendlichen Folge solcher Invarianten anzugeben. Ihre Invarianten sind klassische und nicht Siegelsche Modulformen und deshalb sind Berechnungen mit ihnen verhältnismäßig einfach. Beispielsweise hat ihnen das erlaubt, eine Frage von Conway und Sloane aus der Gittertheorie zu beantworten. Eine weitreichende Hoffnung wäre es, eine komplette Liste von Invarianten zu finden. Obwohl die Endergebnisse von Cervino und Hein theoretischer Natur sind, waren für einige Aspekte Experimente am Computer notwendig.

Fragen aus dem direkten Bereich der Modulformen stehen im Fokus der Forschung von Dr. T. Centeleghe. Unter der Verwendung von computergestützten und theoretischen Methoden untersucht er die Menge der mod p Galoisdarstellungen, die zu Modulformen gehören, und erhält (vermutet) asymptotische Formeln ihrer Anzahl wenn p gegen unendlich geht. Neuerdings begann er, die Frage zu erörtern, wie man das Bild des Frobeniusautomorphismus von G_Q unter (ganzen) p-adischen Galoisdarstellungen (mit Bild in z.B. GL_2(Z_p)), die von Modulformen herkommen, bestimmt. Für Formen von Gewicht 2, die zu elliptischen Kurven gehören, kann die Frage beantwortet werden. Der allgemeine Gewicht 2 Fall ist immer noch offen. Die Forschung von Dr. Kumar Cheraku gehört auch in den Bereich der Galoisdarstellungen. Er arbeitet an Hida-Familien (zur Primzahl 2) und an der Irreduzibilität von lokalen Galoisdarstellungen. Kürzlich begann er, Fragen über p-adische L-Funktionen und L-Invarianten zu erforschen.

Drinfeld-Modulvarietäten und Drinfeldsche Modulformen:
Fragen in der Zahlentheorie haben oft Analogien über globalen Funktionenkörpern; dann wird der Ring der ganzen Zahlen Z ersetzt durch Ringe, wie dem Polynomring F_p[t], und der Körper der rationalen Zahlen Q durch den Körper der rationalen Funktionen über dem endlichen Körper F_p mit p Elementen, wobei p eine Primzahl ist. Da man Methoden der algebraischen Geometrie auf Funktionenkörper anwenden kann, sind viele Fragen über letzteren besser greifbar als die entsprechenden Fragen über Zahlkörpern. Ein besonderes Beispiel davon ist der Beweis von Drinfeld der globalen Langlandskorrespondenz für GL_2 über Funktionenkörpern. In seinem Beweis führte Drinfeld Objekte ein, die man jetzt als Drinfeld-Modulvarietät bezeichnet, ein; dies sind Funktionenkörper-Analoga zu speziellen Shimura Varietäten. Ihre Kohomologie erzeugt Galoisdarstellungen, und diese Varietäten haben eine interessante Geometrie, die von ihrer Modul-Interpretation stammt.

Die Forschung von Dr. P. Hubschmid ist im Bereich eines Analogon der André-Oort Vermutung für Funktionenkörper angesiedelt, mit einem besonderen Schwerpunkt auf Drinfeld-Modulvarietäten. Drinfeld-Modul- so wie Shimura Varietäten tragen spezielle Punkte und speziellen Untervarietäten auf sich, die von ihrer Modul-Interpretation herrühren. Die André-Oort Vermutung besagt, dass jede irreduzible Komponente des Zariski Abschlusses einer Menge von speziellen Punkten einer Drinfeld-Modulvarietät eine spezielle Untervarietät ist. In seiner Doktorarbeit hat P. Hubschmid die Vermutung für spezielle Punkte mit separablem Reflexkörper über dem Grundkörper mit Galois-theoretischen und geometrischen Methoden bewiesen. Seine weiterführende Arbeit konzentriert sich auf Gleichverteilungsaussagen von Hecke und Galois Bahnen von speziellen Punkten in Drinfeld-Modulvarietäten. Es wird gehofft, dass sie benutzt werden können, um die allgemeine André-Oort Vermutung für Drinfeld-Modulvarietäten zu zeigen.

Die Forschung von R. Butenuth (teilweise gemeinsam mit G. Böckle) handelt von Drinfeldschen Modulformen, die ursprünglich von D. Goss eingeführt wurden. Diese Formen sind globale (rationale) Funktionen auf Bündeln über Drinfeld-Modulvarietäten. Sie sind nützlich für eine Vielzahl von Anwendungen; sie liefern Einbettungen von Drinfeld-Modulvarietäten in projektive Räume; sie besitzen zugehörige Galoisdarstellungen; die Hecke-Theorie gibt arithmetisch interessante Invarianten dieser Formen. Die Arbeit von R. Butenuth beschäftigt sich mit der algorithmischen Berechnung solcher Formen. Dies führt zu theoretischen Resultaten nach dem Vorbild von J. Teitelbaum, die eine kombinatorische Beschreibung liefern; sowie zu Implementierungsaspekten, wie man den Quotient von Bruhat-Tits Bäumen unter speziellen arithmetischen Gruppen berechnen kann. Die betrachteten Gruppen kommen von zu Quaternionenalgebren. Der natürliche nächste Schritt dieser Forschung ist es, von Bäumen zu Gebäuden überzugehen. Ein nah verwandtes Projekt ist die Forschung des Doktoranden Y. Bermudez. Er betrachtet automorphe Formen über Funktionenkörpern, die kombinatorisch sehr ähnlich zu Drinfeldschen Modulformen sind. Sein Ziel ist es einen effizienten Algorithmus zu finden (und zu implementieren), der unter der Vorgabe einer automorphen Form mit rationalen Hecke Eigenwerten, die zugehörige elliptische Kurve (d.h. die starke Weil Kurve) bestimmt. Dieser Ansatz könnte es einem ermöglichen, effizient Heegner Punkte auf elliptischen Kurven zu bestimmen.

L-Funktionen und Charakteristik p Geometry:
L-Funktionen sind eine geschickte Möglichkeit, um Informationen über (spezielle) Anzahlen aus der algebraischen und arithmetischen Geometrie zusammenzufassen. Ein Beispiel ist die L-Funktion einer glatten projektiven Kurve über einem endlichen Körper, sagen wir F_p, zum Beispiel die L-Funktion einer elliptischen Kurve. Diese L-Funktion beinhaltet die ganze Information, die notwendig ist, um die Anzahl der Punkte einer Kurve über jeder endlichen Erweiterung von F_p zu bestimmen. Ein anderes Beispiel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Im Zusammenhang der Arithmetik von Funktionenkörpern wurde eine solche Theorie von G. Böckle und R. Pink entwickelt. Es stellt sich heraus, dass der hier entwickelte Formalismus étale Garben mit F_p Koeffizienten von Schemata in Charakteristik p umfasst. Eine andere Art die letzte Frage zu betrachten, wurde von M. Emerton and M. Kisin entwickelt. In der laufende Arbeit mit M. Blickle aus Mainz wird die Verbindung dieser beiden Ansätze im Detail erläutert.

In einer Richtung, die nahe verwandt mit étalen Garben ist, aber andere Werkzeuge verwendet, betrachtet Dr. A. Maurischat (iterative) Differentialstrukturen auf Varietäten in positiver Charakteristik oder geomertischer ausgedrückt, stratifizierte Bündel. Ein aktuelles Ziel seiner Forschung ist die Entwicklung einer de Rham Kohomologie. Das ist nicht-trivial, da der übliche de Rham-Komplex in positiver Charakteristik stark degenerierte Eigenschaften hat, was von Cartier in den 50ern untersucht wurde. Ein anderer Schwerpunkt seiner Arbeit liegt in der Differentialgaloistheorie. Für eine Bündel mit einer Differentialstruktur kann man seine Überlagerung suchen, auf der die Differentialstruktur in einer Art "trivial" wird. Das führt zu Galoisüberlagerung, die mit der Differentialstruktur verträglich sind, d.h. zu Differentialgaloistheorie, in der die Galoisgruppen algebraische Gruppen sind. Außerdem verfolgt er ein Projekt in der Invariantentheorie von algebraischen Gruppen mit E. Dufresne aus Basel, in welchem sie das Zeil haben, Invarianten der Operation der additiven Gruppe durch computergestützte Methoden zu bestimmen.

Direkt im Bereich der L-Funktionen ist die Forschung der Doktorandin Y. Qiu angesiedelt. Sie betrachtet L-Funktionen von Goss über globalen Funktionenkörpern mit einer markierten Stelle. So ergeben sich interessante Fragen über ganze Funktionen in einer Variablen in positiver Charakteristik und der Verteilung der Nullstellen. Ein Vorgehen für solche Fragestellungen ist über die zuvor erwähnte Kohomologietheorie von Böckle-Pink. Es wird erhofft, dass man ziemlich vollständig das Muster dieser Nullstellenverteilungen beschreiben kann. Es gibt viele formale Ähnlichkeiten (aber auch Unterschiede) zu Fragen über Verteilungen von Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion. Um Hypothesen zu erhalten, stützt sich das Projekt von Y. Qui stark auf Computer-Experimente.


     arithgeo@iwr.uni-heidelberg.de
    Last Update: 31.07.2012 - 16:37