Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg


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Forschungsthemen

Galoisdarstellungen und Modulformen:
Eine moderne Art, algebraische Zahlentheorie zu betrachten, ist, die Gruppe G_Q aller Symmetrien von endlichen Erweiterungen der rationalen Zahlen Q, d.h. von Zahlkörpern, zu untersuchen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist über p-adische (oder komplexe) Galoisdarstellungen. Das sind Homomorphismen von G_Q nach GL_n(K) für (den komplexen oder) einen p-adischen Körper K. Wenn man all diese verstehen würde, könnte man viele Folgerungen in der Zahlentheorie damit herleiten. Der Grund dafür, dass dieser Ansatz vielversprechend ist, liegt darin, dass das Langlandsprogramm vorhersagt (vermuten läßt), dass viele interessante Galoisdarstellungen in der (arithmetischen) Geometrie gefunden werden können, z.B. durch die Untersuchung von Modulformen und elliptischen Kurven. Der offensichtlichste Erfolg dieser Methode war der Beweis von Fermats letztem Satz von Wiles und Taylor-Wiles aufbauend auf Arbeiten von vielen anderen.


Drinfeld-Modulvarietäten und Drinfeldsche Modulformen:
Fragen in der Zahlentheorie haben oft Analogien über globalen Funktionenkörpern; dann wird der Ring der ganzen Zahlen Z ersetzt durch Ringe, wie dem Polynomring F_p[t], und der Körper der rationalen Zahlen Q durch den Körper der rationalen Funktionen über dem endlichen Körper F_p mit p Elementen, wobei p eine Primzahl ist. Da man Methoden der algebraischen Geometrie auf Funktionenkörper anwenden kann, sind viele Fragen über letzteren besser greifbar als die entsprechenden Fragen über Zahlkörpern. Ein besonderes Beispiel davon ist der Beweis von Drinfeld der globalen Langlandskorrespondenz für GL_2 über Funktionenkörpern. In seinem Beweis führte Drinfeld Objekte ein, die man jetzt als Drinfeld-Modulvarietät bezeichnet, ein; dies sind Funktionenkörper-Analoga zu speziellen Shimura Varietäten. Ihre Kohomologie erzeugt Galoisdarstellungen, und diese Varietäten haben eine interessante Geometrie, die von ihrer Modul-Interpretation stammt.

 


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    Last Update: 09.01.2020 - 14:22